Quando eclode do ovo, a concha de um certo caranguejo é de 1 cm de diâmetro quando cultivado com aproximadamente 10 cm cada novo Onethird maior que o anterior, quantas conchas d?

Vamos denotar o tamanho da concha do caranguejo em cada estágio do crescimento da seguinte forma:

S1 =1 cm (tamanho inicial)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...

Podemos observar um padrão aqui. O tamanho da concha em cada estágio é obtido adicionando 1/3 do tamanho do estágio anterior.

Em geral, o tamanho da concha no enésimo estágio pode ser expresso como:

Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1

Para determinar o número de conchas, os galpões de caranguejo (excluindo a concha inicial), precisamos encontrar o valor de n para o qual Sn ≥ 10 cm.

10 cm ≤ sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Podemos reconhecer a expressão dentro dos colchetes como a soma de uma série geométrica com o primeiro termo 1 e a proporção comum 1/3. A soma de uma série geométrica é dada por:

Sum =A1 / (1 - R), onde A1 é o primeiro termo e R é a proporção comum.

Conectando a1 =1 e r =1/3, obtemos:

Soma =1/(1 - 1/3) =3/2

Portanto,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm

Isso implica que o caranguejo derramará sua concha quando atingir um tamanho de aproximadamente 6,67 cm.

Para determinar o número de conchas galpadas, precisamos encontrar o valor de N de tal forma que Sn ≥ 6,67 cm.

6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Como a soma da série geométrica é 3/2, temos:

6,67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm

Isso significa que o caranguejo derramará sua concha quando seu tamanho exceder 4,45 cm.

Agora precisamos determinar o número de estágios ou moldes que o caranguejo sofre antes que seu tamanho exceda 4,45 cm.

Começando com S1 =1 cm, podemos calcular os estágios subsequentes da seguinte forma:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

Podemos ver que o S4 é maior que 4,45 cm. Portanto, o caranguejo derramará sua concha durante a transição do terceiro estágio (S3) para o quarto estágio (S4).

Portanto, o caranguejo terá 3 conchas (excluindo a concha inicial) quando seu tamanho exceder 10 cm.